gamma

等比数列求和

设

$$S_n=1+\gamma +{\gamma }^2+\cdots +{\gamma }^{n-1}=\sum _{i=0}^{n-1}{\gamma }^i$$

则有

$$S_{n+1}=\sum _{i=0}^n{\gamma }^i=1+\gamma \ast S_n={\gamma }^n+S_n$$

解得

$$S_n=\frac{1-{\gamma }^n}{1-\gamma }$$

又因为$\gamma \in [0,1)$，所以

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-{\gamma }^n}{1-\gamma }=\frac{1}{1-\gamma }$$