Convex Function

一个函数$f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$是凸函数，当且仅当满足以下条件：

1. 对于$f$的定义域($\mathrm{dom}f$)，要求$\mathrm{dom}f$是凸集(convex set)
   • 凸集：对于任意的$x,y\in \mathrm{dom}f$和任意的$\lambda \in [0,1]$，都有：
   $$\lambda x+(1-\lambda )y\in \mathrm{dom}f$$
2. 对于$f$的值域($\mathrm{ran}f$)，要求如果对于任意的$x,y\in {\mathbb{R}}^n$和任意的$\lambda \in [0,1]$，都有： $$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)$$

note

• domain就是定义域(dom)，range就是值域(ran)
• 很多地方的中文书籍都是把凸函数的意思搞反，下面引用知乎的一个作者的解释：
  • 而国内大部分时间都是看地上，看山，山的形状就是凸起来的；
  • 而国外大部分时间都在看天花板，所以天花板有一个包就叫凸包，这也是我们这里采用的凸函数的意思；