alpha_k

Proof of alpha_k

什么样一个序列同时满足下面条件呢？

$$\begin{array}{r}\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k=\infty \\ \sum _{k=1}^{\infty }{a}_k^2<\infty \end{array}$$

最经典的序列就是调和级数 $a_k=\frac{1}{k}$。我们下面来证明这个序列满足上面的条件。

Proof of ${\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}=\infty$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n\right)=\kappa$$

where $\kappa$ is the Euler-Mascheroni constant, which is approximately 0.577.

首先，我们考虑调和级数的前n项和 $H_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}$ 和自然对数 $\ln n$ 之间的关系。我们需要证明当 $n$ 趋近于无穷大时，表达式 $H_n-\ln n$ 的极限为欧拉-马歇罗尼常数 $\kappa$。

1. 定义序列： 定义序列 ${\gamma }_n=H_n-\ln n$。

2. 证明序列 ${\gamma }_n$ 单调递减： 计算 ${\gamma }_{n+1}-{\gamma }_n$：

   $${\gamma }_{n+1}-{\gamma }_n=\left(H_{n+1}-\ln (n+1)\right)-\left(H_n-\ln n\right)=\frac{1}{n+1}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$$

   令$\frac{1}{1+x}=t$，则$x=\frac{1}{t}-1$，所以：

   $$\begin{array}{rl}\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)& =\ln \left(1+\frac{1}{\frac{1}{t}-1}\right)\\ & =\ln \left(1+\frac{t}{1-t}\right)\\ & =\ln \left(\frac{1}{1-t}\right)\\ & =-\ln (1-t)\end{array}$$

   因此：

   $$\frac{1}{x+1}-\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=t+\ln (1-t)<t+(-t)=0$$

   这表明 ${\gamma }_{n+1}-{\gamma }_n<0$，即 ${\gamma }_n$ 是单调递减的。

3. 证明序列 ${\gamma }_n$ 有下界： 利用积分比较，对于递减函数 $f(x)=\frac{1}{x}$，我们有：

   $$H_n>{\int }_1^n\frac{1}{x}dx=\ln n$$

   因此：

   $$H_n-\ln n>\ln n-\ln n=0$$

   这表明 ${\gamma }_n$ 有下界0。

4. 应用单调收敛定理： 由于 ${\gamma }_n$ 是单调递减且有下界的序列，根据单调收敛定理，${\gamma }_n$ 收敛。

5. 将极限表示为收敛级数的和： 将 $H_n$ 与积分 $\ln (n+1)$ 比较：

   $$H_n-\ln (n+1)=\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)\right)$$

   当 $k$ 趋近于无穷大时，$\frac{1}{k}-\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)$ 近似于 $\frac{1}{2k^2}$，因此级数 ${\sum }_{k=1}^{\infty }\left(\frac{1}{k}-\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)\right)$ 收敛。这个收敛级数的和即为欧拉-马歇罗尼常数 $\kappa$。

6. 处理极限中的余项： 注意到：

   $$H_n-\ln n=\left(H_n-\ln (n+1)\right)+\left(\ln (n+1)-\ln n\right)$$

   其中 $\ln (n+1)-\ln n=\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ 当 $n$ 趋近于无穷大时趋向于0。因此，$H_n-\ln n$ 的极限即为收敛级数的和 $\kappa$。

综上所述，极限

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n\right)=\kappa$$

其中 $\boxed{\kappa }$ 为欧拉-马歇罗尼常数，在这里我们不计算其值，只用知道上面式子是收敛的就可以了。

因此很显然，

$$\boxed{\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}=\kappa +\underset{n\to \infty }{\lim }\ln n=\infty }$$

Proof of ${\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}<\infty$

观察到

$$\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

又有（由$\sin (x)=0$的根$k\pi$可得）：

$$\begin{array}{rl}\sin (x)& =x\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-\frac{x^2}{k^2{\pi }^2}\right)\\ & =\underset{k\to \infty }{\lim }x\left(1-\frac{x^2}{{\pi }^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4{\pi }^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{9{\pi }^2}\right)\cdots \left(1-\frac{x^2}{k^2{\pi }^2}\right)\\ & =x-\left(\underset{k\to \infty }{\lim }\sum _{n=1}^k\frac{1}{k^2{\pi }^2}\right)x^3+\cdots \end{array}$$

比较系数可得：

$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2{\pi }^2}=\frac{1}{6}$$

因此

$$\boxed{\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}<\infty }$$