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数字系统

一、数字系统

定义

  • 什么是数字系统?
  • 是一种==离散信息处理系统==
  • 一组离散形式的信息作为输入
  • 离散的内部信息作为系统状态
  • 产生离散形式的系统输出

分类

根据==是否有系统状态==

  • 组合逻辑系统

  • 无状态记忆功能

  • 输出值只与当时==系统输入==有关

\[ \mathrm{output} = f(\mathrm{input}) \]

  • 时序逻辑系统

  • 具备状态记忆功能

  • 输出值与当时==系统输入和状态==都有关

$$ \mathrm{output} = f(\mathrm{state},\mathrm{input}) $$ - 在离散时间点更新状态 > > 同步时序系统

  • 在任何时间点更新状态 > > 异步时序系统

典型系统

  • 数字计数器

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~~自己选了C~~，正确答案是D，因为我们可以在任何时间点按下，而按下才会触发，所以我们认为它是异步时序系统。而CPU主频这种就是指时钟频率，就是指同步时序系统。

  • 数字计算机
  • 嵌入式系统

二、信息表示

定义

  • 信息

  • 对物质世界与人类社会中存在现象的表示

  • 可以==消除不确定性==

  • 信息熵（不确定性越大信息熵越大）

  • 熵增定律

  • 信号

  • 信息表示的物理载体

  • 模拟信号：==连续的==物理量

  • 数字信号：==离散的==物理量

二进制表示

  • 数字系统广泛采用两个离散值，称二进制

  • 数字0和1

  • 符号真(T)和假(F)

  • 符号高(H)和低(L)

  • 符号开(On)和关(Off)

  • 可以用不同物理量来实现二进制

  • 电压、磁场方向、电荷量

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为了更容易识别输入，我们设计输入的高低界限间隔更小；输出的可区分性越大越好；输入的时候尽可能的识别更多；

三、数制

  • 数的表示规则称为数制

  • 基底(r)：一个数制所包含的数字符号的个数

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  • 权(\(r^i\) ) ：数字符号的位置决定的值
  • 值是各位数字值与其权之积的总和

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定义

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这里要注意最后的字符BQD都是需要考的，

下列数最大的是

  1. 142Q
  2. 62H
  3. 01100100B
  4. 98D

142Q = 1x64+4x8+2=64+32+2=98

62H=6x16+2=98

0110 0100B=1x64+1x32+1x4=100

98D=98

所以是二进制那个最大

运算

  • 二进制加减乘（同十进制）
加法 乘法 减法
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  • 八、十六进制加减乘

  • 将同一列对应位转换为十进制

  • 计算完后再转换为原进制
十六进制加法 八进制乘法
image-20230603215840840 image-20230603220034149

转换

  • 非十进制→十进制

  • 按权展开

  • 非十进制相互转化

  • 1个八进制位=3个二进制位

  • 1个十六进制位=4个二进制位

  • 以小数点为界

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  • 十进制→非十进制
  • 整数部分：除r取余
  • 小数部分：乘r取余

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四、编码

二进制编码

  • 通过0、1排列的组合方式表示数据

  • n位二进制编码可以表示\(2^n\)个数据

  • 数据类型

  • 数值型：能进行算术运算，如整数、小数

  • 非数值型：一般不需算术运算，如字符、控制符

  • 表达M个数据需要二进制位数

\[ \lceil log_2(M) \rceil \]

BCD码

  • 采用二进制编码十进制数

  • 用4位二进制表示0~9，6个冗余

  • BCD码

  • 8421码

  • 最简单，最直觉

  • 加权码，权值8,4,2,1

  • 1010到1111 无意义

  • 进制转换 VS 编码

  • 进制转换： \(13_{10} = 1101_2\)

  • 编码： \(13 \Leftrightarrow 0001|0011\)

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BCEF

格雷码

  • 计数过程中，相邻编码之间只有一位不同

  • 格雷码不唯一

  • 特点

  • 计数电路中，位==翻转次数少==，功耗低

  • 光学轴角编码器转动中，==避免错误编码==

编制格雷码(NO BB, show you code)

def generate_gray_code(n):
    """
    生成 n 位格雷码
    @Args: n: int，格雷码位数
    @Returns: List[str]，由 n 位格雷码组成的列表
    """
    if n == 1:
        return ['0', '1']
    else:
        prev_gray_code = generate_gray_code(n-1)
        first_half = ['0' + code for code in prev_gray_code]
        second_half = ['1' + code for code in prev_gray_code[::-1]]
        return first_half + second_half

In [2]: generate_gray_code(1)
Out[2]: ['0', '1']

In [3]: generate_gray_code(2)
Out[3]: ['00', '01', '11', '10']

In [4]: generate_gray_code(3)
Out[4]: ['000', '001', '011', '010', '110', '111', '101', '100']

BCD生成格雷码

def bcd_to_gray(bcd):
    """
    将 BCD 码转换为格雷码
    @ Args: bcd: str，BCD 码（每个数字用四位二进制表示）
    @ Returns: str，对应的格雷码
    """
    gray = bcd[0]  # 第一个数字直接转换
    for i in range(1, len(bcd)):
        gray += str(int(bcd[i]) ^ int(bcd[i-1]))  # 异或运算得到格雷码(或者叫偶校验:偶数个1为0)
    return gray

In [2]: bcd = "0100"

In [3]: bcd_to_gray(bcd)
Out[3]: '0110'

In [4]: bcd_to_gray("0110")
Out[4]: '0101'

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选C 0010 0100

观察前两位，00，00，00，（00），01，01，01，（01）就是前面第第二位取反的意思

观察后两位，00，01，11，（10），10，11，01，（00）可以很简单看出其实就是倒转的关系

字符编码

  • ACII

  • 美国信息交换标准编码

  • 7位二进制编码，低->高，B1…B7

  • 128个字符： 94可打印+34个控制

  • 特性

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  • Unicode

  • 万国码、统一码

  • 可表示几乎所有语言中的字符与文字

  • 对字符规定了唯一代码点， U+0030表示0

  • 不同方案

  • UTF-8：1~4字节, ==与ASCII兼容==

    • UTF-16：2或4字节
    • UTF-32：4字节

  • UTF-8编码

  • 单字节，第1位为0，7位为代码点(ASCII)

  • n字节

  • 第1个字节n个1，1个0，后面字节前两位为10

  • 代码点位从后往前填入，剩下补0

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答案选C，注意是从后往前依次填入，见这里的code

校验位

  • 检测数据传输中可能存在的错误

  • 增加1位：表示编码中1个数是奇数或偶数

  • 偶校验：偶数个1，校验位0

  • 奇校验：奇数个1，校验位0

校验位的目的就是通过增加一位来满足序列应该有多少个1，比如下面左边就是偶校验，偶数个1则为零，保持序列中1为偶数个；奇数个1则为一，保持序列中1为偶数个。

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  • 不足
  • 无法确定错误位
  • 无法检测偶数个位出错

就是当有偶数个位置同时发生错误就无法校验了；而且就算只有一个位置发生错误也无法确定错误位置。

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选B