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三、关系数据库

关系的定义

在关系理论是以集合代数理论为基础的，因此，我们可以用集合代数给出二维表的“关系”定义。先引入==域==和==笛卡尔积==的概念。

域(Domain)

  • 域是一组具有==相同数据类型==的值的集合
  • 自然数、整数、{男、女}、{0、1}
  • 关系中用域表示属性的取值范围，例如
  • D1={李丽，王平，刘伟}
  • D2={男，女}
  • D3={47，28，30}
  • 其中D1，D2，D3为域名， 分别表示教师关系中姓名、性别、年龄的集合

笛卡尔积(Cartesian Product)

笛卡尔积(Cartesian Product)

  • 定义3.1 给定一组集合D1，D2，…，Dn，它们可以是相同的。 D1， D2， …， Dn的笛卡尔积为：
\[ D_1×D_2×…×D_n=\{(d_1,d_2,…,d_n) | d_i \in D_i, i=1,2,…,n\} \]
  • 所有域的所有值的一个组合，不能重复

元组(Tuple)

  • 笛卡尔积中每一个元素(d1，d2，…，dn)叫做一个n元组(n-tuple)或简称元组
  • 例(张清玫，计算机专业，李勇)、 (张清玫，计算机专业，刘晨)是元组

分量(Component)

  • 笛卡尔积元素(d1，d2，…，dn)中的每一个值di叫做一个分量
  • 例张清玫，计算机专业，李勇，刘晨是分量

关系

  • 关系

  • 定义3.2 D1×D2×…×Dn的任一个子集称为D1， D2， …， Dn上的一个关系。n叫做关系的目或度(degree)

  • 元组和属性

  • 关系中的每一行对应一个元组， 通常用t表示

  • 每一列对应一个域。关系中的列称为属性，每一列用属性名表示 。\(t[A_i]\)表示元组t在属性Ai上的值

  • 一元关系与二元关系

  • 当n=1时，称该关系为一元关系（Unary relation）

  • 当n=2时，称该关系为二元关系（Binary relation）

  • 按照定义，关系可以是一个无限集合

  • 由于笛卡尔积不满足交换律，所以

\[ (d_1,\ldots d_i,d_j,\ldots d_n)\neq(d_1,\ldots d_j,d_i,\ldots d_n) \]
  • 严格地说，==关系==是一种规范化了的==二维表==中行的集合，
  • 当关系作为关系代数数据模型的数据结构时，需要作出补充和限定。
  • 无限关系在数据库中是无意义的，因此限定关系代数数据模型中的关系必须是有限集合。
  • 通过为关系的每列==增加一个属性名==的方法取消元组的有序性，即
\[ (d_1,\ldots d_i,d_j,\ldots d_n)=(d_1,\ldots d_j,d_i,\ldots d_n)\\i,j=1,2,\ldots,n \]

关系模式和关系数据库

  • 关系模式(Relation Schema)是对关系的描述，
  • 该描述包括关系名、属性名、属性的类型和长度，以及属性间固有的数据关联关系
  • 关系模式一般简记为关系名和属性名的集合
    • \(R(A_1,A_2,\ldots,A_n)\)，或仅用关系名R表示。
  • 如图书关系模式可描述为：
    • 图书(书号，书名，作者，单价，出版社)
  • 关系的值是元组的集合，称为关系
  • 关系是对现实世界中事物在某一时刻状态的反映，关系的值是随时间在不断变化的
  • ==关系模式和关系统称为关系==，通过上下文加以区别

键

  • 为了区分不同元组，用其中一个或多个属性值标识，能够唯一标识元组的属性或属性组称为关系的键
  • 关系中能够起标识作用的键称为==候选键==
  • 在一个关系中，如果有多个候选键，选其中的一个键作为==主键(primary key)==
  • 若关系的键由多个属性组成，称为联合键
  • 关系的所有属性构成该关系的键，称为全键
  • 键（key）
  • 键是一个或多个属性组成的，能够唯一标识一个元组。
主键、候选键、超键的关系 具体例子
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ref:link:关系模型中的键类型（候选键、超级键、主键、备用键和外来键） - GeeksforGeeks

完整性约束

  • 关系模型的完整性规则是对关系的某种约束条件

  • 为了维护数据库中数据与现实世界的一致性，对关系数据库的插入、删除和修改操作必须有一定的约束条件，这就是关系模型的三类完整性：

  • 实体完整性

    • 通常由关系系统自动支持
  • 参照完整性
    • 通常由关系系统自动支持

实体完整性和参照完整性是关系的两个不变性，应该由关系系统自动支持

  • 用户定义的完整性

    • 反映应用领域需要遵循的约束条件，体现了具体领域中的语义约束
    • 用户定义后由系统支持

  • 实体完整性约束（Entity Integrity Constraint ）是指==主键的值不能为空或部分为空==

  • 实体完整性规则
    • 若属性(指一个或一组属性)A是基本关系R的==主属性==，则属性A==不能取空值==

  • 如果一个元组的键为空值，或部分为空，该元组将不可标识，不能表示任何实体，因而无意义

  • 参照完整性约束（Reference Integrity Constraint ）是对==关系中作为外键的值的约束==，规定：

  • 如果关系R1中属性A是另一个关系R2中的主键，则对于关系R1中的任一个元组在属性A上的值或者为空值，或者为另一个关系R2中某个元组的主键的值
  • 设F是基本关系R的一个或一组属性，但不是关系R的键(码)。如果F与基本关系S的主键Ks相对应，则称F是基本关系R的==外码(外键)==
  • 基本关系R称为参照关系(Referencing Relation)，基本关系S称为被参照关系(Referenced Relation)或目标关系
  • 说明：关系R和S不一定是不同的关系
  • S的主键\(K_s\)和R的外键F必须定义在同一个或组域上

  • 外键并不一定要与相应的主键同名。

  • 用关系来描述实体及实体间的联系，因此关系模型中存在着关系与关系间的引用

  • 学生关系中每个元组的==“专业号”==只取下面两类值:
  • ==空值==，表示尚未给该学生分配专业
  • ==非空值==，该值必须==是专业关系中某个元组的“专业号”值==，表示该学生不可能分配到不存在的专业中
  • 即学生关系中的某个属性的取值需要参照专业关系中的属性取值
被参照关系（主表） 参照关系（从表）
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关系代数

  • 关系代数

  • 一种抽象的查询语言，用对关系的运算来表达查询

  • 关系代数运算的三个要素

  • 运算对象：关系

  • 运算结果：关系

  • 运算符

  • 按运算符的不同，关系代数运算的分类：

  • 传统的集合运算
    • 并、差、交、广义笛卡尔积
    • 把关系看成元组的集合，以元组作为集合中元素来进行运算，其运算是从关系的“水平”方向即行的角度进行的
  • 专门的关系运算
    • 选择、投影、连接、除
    • 不仅涉及行运算，也涉及列运算，这种运算是为数据库的应用而引进的特殊运算。

专门的关系运算

选择（Selection）

  • 选择运算是关系上的一元运算，是从关系中选择满足一定条件的元组子集
\[ \sigma_F(R)=\{t|t\in R~\wedge~t(F)\} \]
  • F是限定条件的布尔表达式，由逻辑算符\((\neg ,\vee ,\wedge )\)连接比较表达式组成
  • 上式表示在关系R中选择使t(F)为真的所有元组
  • 选择运算是从行的角度进行的运算

投影（Projection）

  • 在模式R上的投影运算表示为
\[ \Pi_x(R)=\{t[X]|t\in R\} \]
  • 其中，\(\Pi\)是投影算符，X是模式R属性的子集，t[X]表示R中元组在属性集X上的值，或为元组t在X上的投影
  • 从R中选择出若干属性列组成新的关系
  • 投影操作主要是从列的角度进行运算
  • 但投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）
选择运算是从行的角度进行的运算 投影操作主要是从列的角度进行运算
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连接（Join）

  • 连接运算是把二个关系中的元组按条件连接起来，形成一个新关系
  • 条件连接
  • 自然连接
  • 条件连接也称\(\theta\)连接，是将二个关系中满足\(\theta\)条件的元组拼接起来形成新元组的集合。
  • 设属性A和B分别是关系R和S上的属性，且定义在同一个域上，R和S的连接记为：
\[ \mathop{R\Join S}_{A~\theta ~B} = \{ t|\overset{\LARGE{\frown}}{t_r t_s},~ t_r\in R \wedge t_s\in S \wedge t_r[A] ~\theta ~ t_s[B] \} \]

  • 其中，\(\Join\)是连接符，\(A~\theta ~B\)为连接条件。\(\theta\)是比较符

  • 条件连接

  • 从R和S的笛卡尔积R×S中选取R关系在A属性组上的值与S关系在B属性组上值满足比较条件的元组
\[ \mathop{R\Join S}_{A~\theta ~B} = \sigma_{A~\theta ~B}(R \times S) \]
  • 最常用的连接是二个属性值的相等比较

  • θ为“＝”的连接运算称为等值连接

  • 自然连接（Natural join）

  • 自然连接是一种特殊的等值连接；它要求两个关系中进行比较的分量必须是==相同的属性组==，并且在结果中==把重复的属性列去掉==
\[ R \Join S = \{ t| \overset{\LARGE{\frown}}{t_r t_s[\overline{A}]},~ t_r\in R \wedge t_s\in S \wedge t_r[A] ~= ~ t_s[A] \} \]
pic.一般的连接操作是从行的角度进行运算 comment
image-20230614182922242 而自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。

除运算（Division）

  • 除法运算是一个二元运算，用表示
  • 若\(R \div S\)，要求R和S有定义在同一域上的属性或属性组
  • \(R \div S\)的结果生成一个新关系R’，R’的属性是R的属性中去掉与S具有公共域属性的其它属性
  • 设R(X，Y)，S(Y)，R’(X)。则\(R \div S\)记为：
\[ R \div S=R'=\{t| t\in R' ~\wedge~ t_r\in R ~\wedge~ t_s \in S ~\wedge~ t_r[R']=t ~\wedge~ t\Join S \subseteq R \} \]
  • 结果集是R的属性中去掉与S具有公共域属性的其它属性
  • 举例说明除法运算的含义
\(SC’\) \(C'\) $ C''$ \(SC'\div C'\) \(SC'\div C''\)
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学生号班号表 班号表1 班号表2 选修了C1课的所有学生 同时选修了C2和C3课的所有学生
  • 除操作是同时从行和列角度进行运算

对于上面的除运算也可以用下式表示： $$ R \div S = \Pi_X(R) - \Pi_X(\Pi_X(R)\Join S - R) $$ 上式中，\(X\)为R中除去与S属性相同的其余属性。

下面是一个别的例子，但用上面的公式做不了，具体来说就是应该从定义理解它，就是必须得是同时满足三条S表中的数据才能选出来如下：

\(R\) \(S\) \(R\div S\)
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扩充的关系运算

外连接

  • 连接运算是把二个关系中的元组按条件连接起来，结果为满足条件的元组集合，这样的连接称为内连接（inter join），还有一种连接称为外连接。
  • 外连接（outer join）是对自然连接运算的扩展。外连接结果中除了满足连接条件的元组外还包含没有被连接的元组。
  • 左外连接
  • 左外连接的连接结果中包含了==关系R (左边关系)中====不满足连接条件==的元组，在这些元组==对应关系S属性上的值为空值==，记为：\(R\Join_L S\)

关系代数的一个例子

【例】查询至少选修了一门其直接先行课为5号课程的课程的学生姓名。

学生表Student 课程表Course 成绩表SC
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关系代数： $$ \Pi_{Sname}(\sigma_{Cpno=5}(Course\Join Student \Join SC)) $$ 稍微优化一下（将操作移到每个表中去）： $$ \Pi_{Sname} ( \sigma_{Cpno=5}(Course) \Join SC \Join \Pi_{SNO,Sname}(Student) )\ \Rightarrow \Pi_{Sname} ( \Pi_{Sno}( \sigma_{Cpno=5}(Course)\Join SC ) \Join \Pi_{SNO,Sname}(Student) ) $$

  • 用关系代数运算可以完成对数据的检索、插入和删除操作
  • 查询：查询的表达能力是其中最重要的部分
    • ==选择(select),==
    • ==投影(project),==
    • ==连接(join),==
    • ==除(devide),==
    • ==并(union),==
    • ==差(difference),==
    • ==交(intersection),==
    • ==笛卡尔积等==
  • 数据更新: 插入(insert),删除(delete),修改(update)
  • 关系操作的特点
  • 集合操作方式，操作的对象和结果都是集合
    • 一次一集合

  • 非关系数据模型的数据操作方式

    • 一次一记录

  • 在关系代数运算中，并、差、笛卡儿积、选择、投影是基本的关系代数运算，其它的运算可以由这些基本运算表示。如：

  • 交运算可用差运算表示：\(R \cap S = R - (R-S)\)
  • 连接运算可由选择和笛卡儿积表示：\(\mathop{R\Join S}\limits_{A~\theta~B} = \sigma_{A~\theta~B}(R \times S)\)
  • 除运算可用下式表示：
\[ R\div S = \Pi_X(R) - \Pi_X(\Pi_X(R) \times \Pi_Y(S)-R) \]

  • 上式中，X为R中除去与S属性相同的其余属性，注意到这里实际上对上面的公式做了修改，而得到的\(\Pi_X(R) \times \Pi_Y(S)\)的列名（模式）应该是和R是一致的才能做差集；

  • 关系代数运算

  • 并、差、交、笛卡尔积、投影、选择、连接、除
  • 基本运算
  • 并、差、笛卡尔积、投影、选择
  • 交、连接、除法 ==可以用5种基本运算来表达==

  • 引进它们并不增加语言的能力，但可以简化表达

  • 关系代数表达式

  • 关系代数运算经有限次复合后形成的式子